Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2﹣10ax+16a（a≠0）交x轴于A、B两点，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点H，且AB=2DH．

（1）求a的值；
（2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，连接PD，PQ⊥x轴于点Q，点N是线段PQ上的点，过点N作NF⊥DH于点F，NE⊥PD交直线DH于点E，求线段EF的长；
（3）在（2）的条件下，连接DN、DQ、PB，当DN=2QN（NQ＞3），2∠NDQ+∠DNQ=90°时，作NC⊥PB交对称轴左侧的抛物线于点C，求点C的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0，

∵a≠0，

∴x2﹣10x+16=0，得x=2或x=8，

∴点A（2，0），B（8，0），

∴AB=8﹣2=6，

∵AB=2DH，

∴DH=3，

∵OH=2+ ，

∴D（5，﹣3），

∴﹣3=a×52﹣10a×5+16a，得a=

（2）

解：如图1，过点D作PQ的垂线，交PQ的延长线于点M，

∵NE⊥PD，

∴∠DPN+∠PNE=90°，

∵NF⊥DE，

∴∠FEN+∠FNE=90°，

又∵DH⊥x轴，PQ⊥x轴，

∴DE∥PQ，

∴∠FEN=∠PNE，

∴∠DPM=∠ENF，

∴△EFN∽△DMP，

∴ ，

设点P（t， ），

则FN=DM=t﹣5，PM= +3，

∴ ，

解得，EF=3

（3）

解：如图2，作QG⊥DN于点G，

∵DF∥PQ，

∴∠FDN=∠DNQ，

∵2∠NDQ+∠DNQ=90°，

∴2∠NDQ+∠FDN=90°，

∵∠FDM=90°，

∴∠NDM=2∠NDQ，

∴∠NDQ=∠MDQ，

∴QG=QM=DH=3，

设QN=m，则DN=2m，

∵sin∠DNM= ，sin∠QNG= ，sin∠DNM=sin∠QNG，

∴ ，得DM=6=DG，

∴OQ=5+6=11，

∴点P的纵坐标是： ，

∴点P（11，9），

∵NG=DN﹣DG=2m﹣6，在Rt△NGQ中，QG2+NG2=QN2，

∴32+（2m﹣6）2=m2，

解得，m=3（舍去）或m=5，

设点C的坐标为（n， ），作CK⊥x轴于点K，作NF⊥CK于点K，

则CT= ，NT=11﹣n，

∵P（11，9），则BQ=11﹣8=3，PQ=9，

∵CN⊥PB，PQ∥CK，PQ⊥x轴，

∴△CTN∽△BQP，

∴ ，

即 ，

解得，n=﹣1或n=10（舍去），

∴点C（﹣1，9）．

【解析】（1）根据y=ax2﹣10ax+16a可以求得当y=0时，x的值，从而可以求得点A、B的坐标，由抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点H，且AB=2DH，从而可以求得a的值；（2）根据已知条件作出相应的图形，然后根据题意题目中的数量关系，通过灵活变形可以求得EF的长；（3）根据题意可以画出相应的图形，然后根据题目中的关系，利用三角形相似，灵活变化可以求得点C的坐标．
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．