题目内容
【题目】在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,对角线AC平分∠BAD
(1)如图1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,易证AD+BA＝AC
(2)如图2,若将(1)中的条件“∠B=90°”去掉,(1)中的结论是否成立?请说明理由.
(3)如图3,若∠DAB=90°,探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
【答案】(1)见解析；（2）见解析；(3)AC=AD+AB,AD+AB=
AC.
【解析】
（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=
AC，AB= AC即可解决问题；
（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；
（3）结论：AD+AB= AC．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；
(1)AC=AD+AB.
理由如下：如图1中，
在四边形ABCD中,∠D+∠B=180°,∠B=90°，
∴∠D=90°，
∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∵∠B=90°，
∴AB= AC,同理AD=AC.
∴AC=AD+AB.
(2)(1)中的结论成立,理由如下：以C为顶点,AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，
∵∠BAC=60°，
∴△AEC为等边三角形，
∴AC=AE=CE，
∵∠D+∠B=180°,∠DAB=120°，
∴∠DCB=60°，
∴∠DCA=∠BCE，
∵∠D+∠ABC=180°,∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠D=∠CBE，∵CA=CB，
∴△DAC≌△BEC，
∴AD=BE，
∴AC=AD+AB.
(3)结论：AD+AB=AC.理由如下：
过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E,∵∠D+∠B=180°,∠DAB=90°，
∴DCB=90°，
∵∠ACE=90°，
∴∠DCA=∠BCE，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB=45°，
∴∠E=45°.
∴AC=CE.
又∵∠D+∠B=180°，∠D=∠CBE，
∴△CDA≌△CBE，
∴AD=BE，
∴AD+AB=AE.
在Rt△ACE中,∠CAB=45°，
∴AE=
=AC，
∴AD+AB=AC.
