Question

已知，等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，且BP=4，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EPF=60°，设BE=x，CF=y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）①若四边形AEPF的面积为时，求x的值．
②四边形AEPF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) ， x的取值范围是;(2) ①4，②存在，x=2，.

解析试题分析：（1）求出△BEP∽△CPF，得出比例式，代入求出即可；
（2）①过A作AD⊥BC于D，过E作EN⊥BC于N，过F作FM⊥BC于M，求出AD=3，EN=x，CF=y=，FM=，根据S_{四边形AEPF}=S_△ABC-S_△BEP-S_△CFP得出方程，求出x即可；
②四边形AEPF的面积存在最大值，把9-x-化成-（-）²+5，即可得出答案．
试题解析：（1）∵∠EPF=60°
∴∠BPE＋∠CPF=120°
∵∠B=60°∴∠BPE＋∠BEP=120°
∴∠BEP=∠CPF又∵∠B=∠C=60°
∴△BEP∽△CPF
∴
∴
∴， x的取值范围是.
（2）①过A作AD⊥BC于D，
过E作EN⊥BC于N，过F作FM⊥BC于M

∵∠B=60°，AB=6,BE=x
∴AD=sin60°×6=, EN=sin60°×x=x
∵∠C=60°，CF=∴FM=sin60°×
∴
.
∴x²-5x+4=0　
∴x₁=1（舍去）,x₂=4
②



∴当，即x=2时，四边形AEPF的面积存在最大值，最大值是.
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.一元二次方程的应用；3.二次函数的最值；4.等边三角形的性质．