Question

【题目】如图，AB是⊙O的一条弦，点C是半径OA的中点，过点C作OA的垂线交AB于点E，且与BE的垂直平分线交于点D，连接BD．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，CE＝1，试求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD＝90°，即可证明BD是⊙O的切线；

（2）根据三角函数的定义得到，求得∠A＝30°，得到∠DEB＝∠AEC＝60°，推出△DEB是等边三角形，得到BE＝BD，设EF＝BF＝x，求得AB＝2x+2，过O作OH⊥AB于H，解直角三角形即可得到结论．

（1）证明：连接OB，

∵OB＝OA，DE＝DB，

∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD，

又∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°，

∴∠OBA+∠ABD＝90°，

∴OB⊥BD，

∴BD是⊙O的切线；

（2）解：∵⊙O的半径为，点C是半径OA的中点，

∴，

∵CE＝1，

∴，

∴∠A＝30°，

∵∠ACE＝90°，

∴∠DEB＝∠AEC＝60°，

∵DF垂直平分BE，

∴DE＝DB，

∴△DEB是等边三角形，

∴BE＝BD，

设EF＝BF＝x，

∴AB＝2x+2，

过O作OH⊥AB于H，

∴AH＝BH＝x+1，

∵，

∴，

∴AB＝6，

∴BD＝BE＝AB﹣AE＝4．