Question

已知双曲线y=

k

x

与直线y=

1

4

x相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=

k

x

上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，-n）作NC∥x轴交双曲线y=

k

x

于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（-8，0），求A、B两点坐标及k的值；
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式；
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值．

Answer 1

分析：（1）将D的坐标可得B的横坐标，代入解析式可得B的坐标，又有A、B两点关于原点对称，易得k的值；
（2）根据题意B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，可得BCD的坐标关于mn的表达式，进而可以表示出矩形的面积；代入数据可得答案；
（3）分别作AA₁⊥x轴，MM₁⊥x轴，垂足分别为A₁、M₁，设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为-a，易得pq关于a的关系式，作p-q可得p-q=

a-m

m

-

m+a

m

=-2．

解答：解：（1）∵D（-8，0），
∴B点的横坐标为-8，代入y=

1

4

x中，得y=-2，
∴B点坐标为（-8，-2），
而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2），
∴k=8×2=16；

（2）∵N（0，-n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
∴mn=k，B（-2m，-

n

2

），C（-2m，-n），E（-m，-n），
∴S_矩形DCNO=2mn=2k，
∴S_△DBO=

1

2

mn=

1

2

k，
∴S_△OEN=

1

2

mn=

1

2

k，
∴S_{四边形OBCE}=S_矩形DCNO-S_△DBO-S_△OEN=k，
∴k=4，
由直线y=

1

4

x及双曲线y=

4

x

，得A（4，1），B（-4，-1），
∴C（-4，-2），M（2，2），
设直线CM的解析式是y=ax+b，
由C、M两点在这条直线上，得

-4a+b=-2 2a+b=2

，
解得a=b=

2

3

，
∴直线CM的解析式是y=

2

3

x+

2

3

；

（3）如图1，分别作AA₁⊥x轴，MM₁⊥x轴，垂足分别为A₁、M₁，
设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为-a，
于是p=

MA

MP

=

A1M1

M1O

=

a-m

m

，
同理q=

MB

MQ

=

m+a

m

，
∴p-q=

a-m

m

-

m+a

m

=-2．
本题也可用相似求解，如图，酌情给分．

点评：此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个知识点此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．