Question

已知双曲线y=

k

x

与直线y=

1

4

x相交于A，B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=

k

x

上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，-n）作NC∥x轴交双曲线y=

k

x

于点E，交BD于点C．若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，则直线CM的解析式为

 

．

Answer 1

分析：根据一次函数和反比例函数的性质及点的坐标和解析式的关系解答．

解答：解：设B点坐标为（x₁，-

n

2

），代入y=

1

4

x得，-

n

2

=

1

4

x₁，x₁=-2n；
∴B点坐标为（-2n，-

n

2

）．
因为BD∥y轴，所以C点坐标为（-2n，-n）．
因为四边形ODCN的面积为2n•n=2n²，三角形ODB，三角形OEN的面积均为

k

2

，四边形OBCE的面积为4．
则有2n²-k=4---①；
又因为2n•

n

2

=k，即n²=k---②
②代入①得，4=2k-k，解得k=4；则解析式为y=

4

x

；
又因为n²=4，故n=2或n=-2．
M在第一象限，n＞0；
将M（m，2）代入解析式y=

4

x

，得m=2．故M点坐标为（2，2）；C（-4，-2）；
设直线CM解析式为y=kx+b，则

2k+b=2 -4k+b=-2

，
解得

k= 2 3 b= 2 3

∴一次函数解析式为：y=

2

3

x+

2

3

．

点评：解答本题要明确两个关系：（1）双曲线中，xy=k；
（2）S_△DBO=

1

2

|k|．