Question

如图，抛物线y=x²-m²（m＞0）与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点P，连结PA、PC，过点A画PC的平行线分别交y轴和抛物线于点B、C₁，连结CB并延长交抛物线于点A₁，在过点A₁画AC₁的平行线分别交y轴和抛物线于点B₁、C₂，连结C₁B₁并延长交抛物线于点A₂，…，依次得到四边形，记四边形A_nB_nC_nB_n-1的面积为S_n．
（1）求证：四边形ABCP是菱形．
（2）设∠A₁B₁C₁=a，且90°＜a＜120°，求m的取值范围．
（3）当m=1时，
①填表：

序号	S1	S2	S3	…	Sn
四边形的面积				…

②是否存在2个四边形，他们的面积S_p、S_q满足：（p＜q）？若存在，求p、q的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB∥PC，AP∥BC，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∵AP=CP，
∴四边形ABCP是菱形；

（2）∵AC₁∥A₁C₂，A₁C∥A₂C₁，
∴∠A₁B₁C₁=∠ABC，
∵四边形ABCP是菱形，
∴∠ABC=2∠OBC，
∵90°＜∠A₁B₁C₁＜120°，
∴45°＜∠OBC＜60°，
∵B（0，m²），C（2m，0），
∴tan∠OBC=，
∴1＜＜，解得＜m＜2；
（3）①

序号	S1	S2	S3	…	Sn
四边形的面积	16	36	64	…	4（n+1）2

②∵S_p=4（p+1）²，S_q=4（q+1）²，
∴S_p•S_q=2⁴（p+1）²（q+1）²=2¹⁴，
∴（p+1）²（q+1）²=2¹⁰，
∴（p+1）（q+1）=2⁵，
∴或，
∴或．
分析：（1）根据AB∥PC，AP∥BC可知四边形ABCP是平行四边形，再由AP=CP即可得出结论；
（2）由AC₁∥A₁C₂，A₁C∥A₂C₁，可知∠A₁B₁C₁=∠ABC，再由四边形ABCP是菱形可知∠ABC=2∠OBC，因为90°＜∠A₁B₁C₁＜120°故45°＜∠OBC＜60°，再由B（0，m²），C（2m，0）可知tan∠OBC=，故可得出结论；
（3）①根据梯形的面积公式即可得出结论．根据S_p=4（p+1）²，S_q=4（q+1）²即可得出结论．
点评：本题考查的是二次函数综合题，根据题意找出概率是解答此题的关键．