Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G；
（1）求证：AC=2CF；
（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=ACCF．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BD=DE=EC，

∴BE=2CE，

∵CF∥AB，

∴△ABE∽△FCE，

∴ =2，即AB=2FC，

又∵AB=AC，

∴AC=2CF；

（2）证明：如图，

∵∠1=∠B，∠DAG=∠BAD，

∴△DAG∽△BAD，

∴∠AGD=∠ADB，

∴∠B+∠2=∠5+∠6，

又∵AB=AC，∠2=∠3，

∴∠B=∠5，

∴∠3=∠6，

∵CF∥AB，

∴∠4=∠B，

∴∠4=∠5，

则△ACD∽△DCF，

∴ ，即CD2=ACCF．

【解析】（1）由BD=DE=EC知BE=2CE，由CF∥AB证△ABE∽△FCE得 =2，即AB=2FC，根据AB=AC即可得证；（2）由∠1=∠B证△DAG∽△BAD得∠AGD=∠ADB，即∠B+∠2=∠5+∠6，结合∠B=∠5、∠2=∠3得∠3=∠6，再由CF∥AB得∠4=∠B，继而知∠4=∠5，即可证△ACD∽△DCF得CD2=ACCF．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）)，还要掌握相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)的相关知识才是答题的关键．