题目内容

【题目】如图,直线y= x﹣ 与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数y= (k>0)图象交于点C,D,过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.
(1)求点A的坐标.
(2)若AE=AC. ①求k的值.
②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称?并说明理由.

【答案】
(1)解:当y=0时,得0= x﹣ ,解得:x=3.

∴点A的坐标为(3,0).


(2)解:①过点C作CF⊥x轴于点F,如图所示.

设AE=AC=t,点E的坐标是(3,t),

在Rt△AOB中,tan∠OAB= =

∴∠OAB=30°.

在Rt△ACF中,∠CAF=30°,

∴CF= t,AF=ACcos30°= t,

∴点C的坐标是(3+ t, t).

∴(3+ t)× t=3t,

解得:t1=0(舍去),t2=2

∴k=3t=6

②点E与点D关于原点O成中心对称,理由如下:

设点D的坐标是(x, x﹣ ),

∴x( x﹣ )=6 ,解得:x1=6,x2=﹣3,

∴点D的坐标是(﹣3,﹣2 ).

又∵点E的坐标为(3,2 ),

∴点E与点D关于原点O成中心对称.


【解析】(1)令一次函数中y=0,解关于x的一元一次方程,即可得出结论;(2)①过点C作CF⊥x轴于点F,设AE=AC=t,由此表示出点E的坐标,利用特殊角的三角形函数值,通过计算可得出点C的坐标,再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程,解方程即可得出结论;②根据点在直线上设出点D的坐标,根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于点D横坐标的一元二次方程,解方程即可得出点D的坐标,结合①中点E的坐标即可得出结论.

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