Question

【题目】如图1，△ABC和△DCE是两个全等的等腰三角形，BC，CE为底边．


（1）将图1中的△DCE绕C点顺时针方向旋转至∠BCE=∠ACB的位置，分别延长AB，DE交于点F（如图2），此时，四边形BCEF为何种四边形？请证明你的结论；
（2）如果将图1中的△DCE绕C点顺时针旋转至∠BCE=2∠ACB的位置，连接AD，BE（如图3），证明四边形ABED为矩形；
（3）在（2）的条件下，四边形ABED有无可能成为正方形？如果有可能成为正方形，求出∠ABC的度数为多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：四边形BCEF是菱形，

理由：∵△ABC和△DCE是两个全等的等腰三角形，BC，CE为底边．

∴BC=CE，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC，

∵∠BCE=∠ACB，

∴∠BCE=∠DEC，

∴BC∥DE，

∴∠ABC=∠F，

∴∠F=∠DEC

∴CE∥AB，

∴四边形BCEF是平行四边形，

∵BC=CE，

∴平行四边形BCEF是菱形；

（2）

解：∵∠ABC=∠ACB，∠BCE=2∠ACB，

∴∠BCE=2∠ABC，

∵BC=CE，

∴∠CBE= （180°﹣∠BCE）= （180°﹣2∠ABC）=90°﹣∠ABC，

∴∠CBE+∠ABC=90°，

∴∠ABE=90°，

同理：∠BAD=∠ADE=90°，

∴四边形ABED是矩形；

（3）

解：四边形ABED能成为正方形，

∵四边形ABED是正方形，

∴AB=AD，

∵AB=AC=CD，

∴AC=AD=CD，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ACD=60°，

∵∠BCE=2∠ACB，∠ABC=∠ACB=∠DCE，

∴∠ACB+∠BCE+∠DCE+∠ACD=360°，

∴∠ABC+2∠ABC+∠ABC=300°，

∴∠ABC=75°，

【解析】（1）由全等得出∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC，进而判断出BC∥DE，即可得出∠ABC=∠F，进而得出CE∥AB，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质求出∠ABE=90°，同理：∠BAD=∠ADE=90°，即可得出结论；（3）由正方形得出AB=AD，进而得出△ACD是等边三角形，即可求出∠ABC=75°．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角），以及对菱形的判定方法的理解，了解任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．