题目内容
【题目】如图,是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线,其对称轴为x=1,与x轴的一个交点为A(﹣1,0),另一个交点为B,与y轴的交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点N为抛物线上一点,且BC⊥NC,求点N的坐标;
(3)点P是抛物线上一点,点Q是一次函数y= x+ 的图象上一点,若四边形OAPQ为平行四边形,这样的点P、Q是否存在?若存在,分别求出点P,Q的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)
解:设抛物线的解析式是y=﹣(x﹣1)2+k.
把(﹣1,0)代入得0=﹣(﹣1﹣1)2+k,
解得k=4,
则抛物线的解析式是y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;
(2)
解:在y=﹣x2+2x+3中令x=0,则y=3,即C的坐标是(0,3),OC=3.
∵B的坐标是(3,0),
∴OB=3,
∴OC=OB,则△OBC是等腰直角三角形.
∴∠OCB=45°,
过点N作NH⊥y轴,垂足是H.
∵∠NCB=90°,
∴∠NCH=45°,
∴NH=CH,
∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH,
设点N纵坐标是(a,﹣a2+2a+3).
∴a+3=﹣a2+2a+3,
解得a=0(舍去)或a=1,
∴N的坐标是(1,4);
(3)
解:∵四边形OAPQ是平行四边形,则PQ=OA=1,且PQ∥OA,
设P(t,﹣t2+2t+3),代入y= x+ ,则﹣t2+2t+3= (t+1)+ ,
整理,得2t2﹣t=0,
解得t=0或 .
∴﹣t2+2t+3的值为3或 .
∴P、Q的坐标是(0,3),(1,3)或( , )、( , ).
【解析】(1)已知抛物线的对称轴,因而可以设出顶点式,利用待定系数法求函数解析式;(2)首先求得B和C的坐标,易证△OBC是等腰直角三角形,过点N作NH⊥y轴,垂足是H,设点N纵坐标是(a,﹣a2+2a+3),根据CH=NH即可列方程求解;(3)四边形OAPQ是平行四边形,则PQ=OA=1,且PQ∥OA,设P(t,﹣t2+2t+3),代入y= x+ ,即可求解.