题目内容
如图，D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交△ABC三边于E，F，G三
点，连接FE，FG．
（1）求证：∠EFG=∠B；
（2）若AC=2BC=4
，D为AE的中点，求CD的长．
点，连接FE，FG．（1）求证：∠EFG=∠B；
（2）若AC=2BC=4
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（1）证明：连接GD；
∵CD是直径，
∴∠CGD=90°；
∴DG∥BC，
∴∠ADG=∠B；
又∵四边形DGFE是圆的内接四边形，
∴∠ADG=∠EFG；
∴∠B=∠EFG；
（2）连接CE，则CE⊥AB；
在Rt△ACB中，AC=4
，BC=2
；
由勾股定理，得：AB=
=10；
由于CE⊥AB，由射影定理，得：AE=AC2÷AB=8；
∴AD=DE=4，BE=2；
CE2=AE•BE=16，∴CE=4；
Rt△CED中，CE=4，DE=4；∴CD=4
．
∵CD是直径，
∴∠CGD=90°；
∴DG∥BC，
∴∠ADG=∠B；
又∵四边形DGFE是圆的内接四边形，
∴∠ADG=∠EFG；
∴∠B=∠EFG；
（2）连接CE，则CE⊥AB；
在Rt△ACB中，AC=4
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由勾股定理，得：AB=
| AC2+BC2 |
由于CE⊥AB，由射影定理，得：AE=AC2÷AB=8；
∴AD=DE=4，BE=2；
CE2=AE•BE=16，∴CE=4；
Rt△CED中，CE=4，DE=4；∴CD=4
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