题目内容

我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．
（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．
（3）如果直线x=m在线段OB上移动，交x轴于点D，交抛物线于点E，交BD于点F．连接DE和BE后，对于问题“是否存在这样的点E，使△BDE的面积最大？”小明同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BDE的面积最大．”他的观点是否正确？提出你的见解，若△BDE的面积存在最大值，请求出m的值以及点E的坐标．

解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
根据题意知A、B、D点的坐标分别是（-1，0）、（3，0）、（0，-3），
则可列方程组 $\text{[math]}$ ，
解得c=-3、a=1、b=-2，
∴“蛋圆”抛物线部分的解析式为y=x²-2x-3（-1≤x≤3）；

（2）设过点D（0，-3）的“蛋圆”切线的解析式为y=kx-3，
将其代入抛物线部分的解析式为y=x²-2x-3得
kx-3=x²-2x-3，即x²-（2+k）x=0，
∵△=（2+k）²=0，
∴k=-2，
∴过点D（0，-3）的“蛋圆”切线的解析式为y=-2x-3；

（3）由上面知B、D点的坐标分别是（3，0）、（0，-3），
则直线BD的解析式为y=x-3，
∵点F为直线x=m与直线BD的交点，点E为直线x=m与抛物线y=x²-2x-3的交点，
∴点F的坐标为（m，m-3），点E的坐标为（m，m²-2m-3），
∴S_△BDE=S_△BDF+S_△DEF= $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ ，
又∵0≤m≤3，
∴当m= $\text{[math]}$ ，S_△BDE取最大值 $\text{[math]}$ ，点E的坐标为（ $\text{[math]}$ ），
∵抛物线的顶点为（1，-4），
∴小明同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BDE的面积最大．”这样的观点是错误的．
答：（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为y=x²-2x-3（-1≤x≤3）．
（2）过点D（0，-3）的“蛋圆”切线的解析式为y=-2x-3．
（3）存在这样的点E的坐标为（ $\text{[math]}$ ），使△BDE的面积最大为 $\text{[math]}$ ；小明同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BDE的面积最大．”这样的观点是错误的．
分析：（1）首先设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．再根据点A、B、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2得到A、B、D三点的坐标值，代入即可写出方程组，解得a、b、c的值．
（2）设过点D（0，-3）的“蛋圆”切线的解析式为y=kx-3．根据点D是“蛋圆”与“蛋圆”切线的解析式为y=kx-3的交点．那么联立这两式．根据判别式△=0，即可得到k的取值．那么过点D（0，-3）的“蛋圆”切线也就确定．
（3）首先确定出B、D、F、E的坐标值．再根据S_△BDE=S_△BDF+S_△DEF通过它们的横坐标、纵坐标的差值表示两个三角形的面积．再根据二次函数的性质，使△BDE的面积最大时，求得m的值．进而验证小明的观点．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意动点的取值范围，求三角形面积时注意坐标差值的符号．