Question

我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，-3）AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为

 

．经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为

 

．

Answer 1

分析：首先根据题意确定出A、B、D点的坐标．假设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．从图中可看到抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、D，联立组成方程组

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，解得a、b、c的值，抛物线解析式即可确定．
首先根据M、半径确定出“蛋圆”半圆部分的解析式．再求得C点的坐标，根据C、M点坐标确定出直线CM的斜率，进而根据两直线垂直，斜率之积是-1．求得经过点C的“蛋圆”的切线的斜率，进而确定出切线的解析式．

解答：解：由题意得A（-1，0）、B（3，0）、D（0，-3）
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、D
∴可列出方程组

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得c=-3、a=1、b=-2，
该抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

∵半圆的圆心M（1，0），半径为2，
∴圆的解析式为半圆的解析式为（x-1）²+y²=4 （y≥0），
设点C的坐标为（0，k），
∵点C在半圆上，
∴1+k²=4，解得k=

3

即C点的坐标为（0，

3

），
则直线CM的解析式斜率为-

3

，
因而过点C圆M切线的解析式斜率为

-1

- 3

=

3

3

故经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为y-

3

=

3

3

(x-0)，
即y=

3

3

x+

3

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式、直线解析式的确定、圆的切线问题．