Question

如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）顶点D的坐标为（﹣1，4）
（2）△BCD是直角三角形。理由见解析
（3）存在。符合条件的点P的坐标为：。

解析试题分析：（1）应用待定系数法即可求得函数的解析式。
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c
把点A（1，0）、B（﹣3，0）、C（0，3）代入，得
，解得。
∴抛物线的解析式为y=﹣x²﹣2x+3。
∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，∴顶点D的坐标为（﹣1，4）。
（2）应用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断。
△BCD是直角三角形。理由如下：
如图，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，

∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC²=OB²+OC²=18。
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，
∴CD²=DF²+CF²=2
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，
∴BD²=DE²+BE²=20。
∴BC²+CD²=BD^2。
∴△BCD为直角三角形。
（3）分P在x轴和y轴两种情况讨论，求出P的坐标：．
①∵，∴。
又∵∠AOC=∠CDB=90°，∴△ACO∽△BCD。
∴当P为原点O时，△ACP∽△BCD。
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则OC=3﹣a。
由，即，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣7）。
此时，△ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立。
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边，设P的坐标是（0，b），则OC=3﹣b，
由，即，解得：b=，故P是（0，）时，则△PCA∽△CBD一定成立。
④当P在y轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，当AC与CD是对应边时，
设P的坐标是（d，0），则AB=1﹣d，
由，即，解得：d=1﹣3，此时，两个三角形不相似。
⑤当P在y轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，当AC与BC是对应边时，
设P的坐标是（e，0），则AB=1﹣e。
由，即，解得：e=﹣9，符合条件。
综上所述，符合条件的点P的坐标为：。