Question

在□ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
（1）试说明：AE⊥BF；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并说明理由．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）DF=CE．理由见解析.

解析试题分析：（1）因为AE，BF分别是∠DAB，∠ABC的角平分线，那么就有∠MAB=∠DAB，∠MBA=∠ABC，而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得证．
（2）两条线段相等．利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量减等量差相等，可证．
（1）∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．（1分）
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF．
∴2∠BAE+2∠ABF=180°．
即∠BAE+∠ABF=90°．
∴∠AMB=90°．
∴AE⊥BF．
（2）线段DF与CE是相等关系，即DF=CE，
∵在?ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB．
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB．
∴∠DEA=∠DAE．
∴DE=AD．（6分）
同理可得，CF=BC．
又∵在?ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF．
∴DE-EF=CF-EF．
即DF=CE．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.角平分线的性质；3.平行四边形的性质．