题目内容

【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为12,EBC中点,将正方形边CD沿DE折叠到DF,将AD折叠,使ADDF重合,折痕交ABG,连接BFCF,则下列结论:①GFE三点共线;②BG=8;③△BEF∽△CDFSBFG=.其中正确的有( )

A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④

【答案】D

【解析】分析:根据已知条件易证∠GFD+DFE=180°,即可得点GFE共线,①正确;设BG=x,则GF=AG=12-x,RtBEG中根据勾股定理求得x的值,即可判定②正确;根据折叠的性质和已知条件证得∠CDF=∠BEF,再由BE=FE,FD=CD,即可判定△BEF∽△CDF,③正确;在RtBEG中,根据面积法可得EG边上的高为根据三角形的面积公式即可求得SBFG=④正确.

详解由题意得∠GFD=DFE=90°

∴∠GFD+DFE=180°,故点GFE共线,故①正确;

BG=x,则GF=AG=12-x,

由题意得:EF=CE=BE=6,

RtBEG中,有BG2+BE2=EG2

解得x=8,故②正确;

在四边形DCEF中,

∵∠DFE=DCE=90°

∴∠CEF+CDF=180°,

又∠CEF+BEF=180°

∴∠CDF=BEF

BE=FEFD=CD

∴△BEFCDF,故③正确;

RtBEG中,根据面积法可得EG边上的高为 ,又FG=4,∴SBFG=,故④正确;

所以正确的有①②③④,故选D.

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