题目内容

【题目】已知椭圆C: =1(a>0)的焦点在x轴上,且椭圆C的焦距为2. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于两点P,Q,过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N,F为椭圆C的右焦点,求证:三点N,F,Q在同一条直线上.

【答案】解:(Ⅰ)∵椭圆 的焦点在x轴上, ∴a2>7﹣a2 , 即
∵椭圆C的焦距为2,且a2﹣b2=c2
∴a2﹣(7﹣a2)=1,解得a2=4,
∴椭圆C的标准方程为
(Ⅱ)证明:由题知直线l的斜率存在,
设l的方程为y=k(x﹣4),点P(x1 , y1),Q(x2 , y2),N(x1 , ﹣y1),
得3x2+4k2(x﹣4)2=12,
即(3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0,△>0,
由题可得直线QN方程为
又∵y1=k(x1﹣4),y2=k(x2﹣4),
∴直线QN方程为
令y=0,整理得 =
= =
即直线QN过点(1,0),
又∵椭圆C的右焦点坐标为F(1,0),
∴三点N,F,Q在同一条直线上.
【解析】(Ⅰ)由椭圆的焦点位置分析可得a2>7﹣a2 , 进而由椭圆的几何性质可得a2﹣(7﹣a2)=1,解可得a的值,代入椭圆的方程即可得答案;(Ⅱ)分析可得直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x﹣4),联立直线与椭圆的方程,由根与系数的关系分析可得直线QN方程,令y=0,可得直线QN过点(1,0),由椭圆的几何性质分析可得答案.

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