题目内容

【题目】如图,以AB为直径的O经过点P,C是O上一点,连接PC交AB于点E,且ACP=60°,PA=PD.

(1)试判断PD与O的位置关系,并说明理由;

(2)若=1:2,求AE:EB:BD的值(请你直接写出结果);

(3)若点C是弧AB的中点,已知AB=4,求CECP的值.

【答案】1PD与O相切.理由见解析;(23:1:23)8

【解析】

试题分析:(1)连OP,根据圆周角定理得到AOP=2ACP=120°,则PAO=APO=30°,利用PA=PD得到D=PAD=30°,则APD=180°﹣30°﹣30°=120°,于是得到OPD=120°﹣30°=90°,根据切线的判定定理即可得到PD是O的切线;

(2)连BC,由AB为直径,根据直径所对的圆周角为直角得到ACB=90°,利用=1:2,则ABC=2BAC,所以有BAC=30°ABC=60°,而PAE=30°,得到AE垂直平分PC,设BE=x,然后利用含30°的直角三角形三边的关系可求出AE:EB:BD的值;

(3)根据圆周角定理由弧AC=弧BC,得到CAB=APC,OCAB,根据相似三角形的判定方法易得ACE∽△PCA,则,即AC2=PCCE,利用勾股定理有A02+OC2=AC2=8,即可得到CECP的值.

解:(1)PD与O相切.理由如下:

连接OP,

∵∠ACP=60°

∴∠AOP=120°

而OA=OP,

∴∠PAO=APO=30°

PA=PD

∴∠D=PAD=30°

∴∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°,

∴∠OPD=120°﹣30°=90°,

OP为半径,

PDO的切线;

(2)连BC,

AB为直径,

∴∠ACB=90°

=1:2,

∴∠ABC=2BAC

∴∠BAC=30°ABC=60°

PAE=30°

∴∠APE=DPE=60°

AE垂直平分PC,如图,

设BE=x,在RtBCE中,BCE=30°,则BC=2BE=2x,

在RtABC中,CAB=30°,AB=2BC=4x,

AE=AB﹣BE=3x,

PA=PD,PEAD

AE=DE

DB=3x﹣x=2x,

AE:EB:BD的值为3:1:2;

(3)如图,连接OC,

弧AC=弧BC,COAD

∴∠CAB=APC,OCAB

ACE=PCA

∴△ACE∽△PCA

,即AC2=PCCE,

A02+OC2=AC2=8,

PCCE=AC2=8.

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