题目内容

一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些液体,棱AB始终在水平桌面上,容器底部的倾斜角为α (∠CBE = α,如图1所示).
探究 如图1,液面刚好过棱CD,并与棱BB′ 交于点Q,此时液体的形状为直三棱柱,其三视图及尺寸如
图2所示.解决问题:
(1)CQ与BE的位置关系是       ,BQ的长是       dm;
(2)求液体的体积;(参考算法:直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB)
(3)求α的度数.(注:sin49°=cos41°=,tan37°=)

拓展 在图1的基础上,以棱AB为轴将容器向左或向右旋转,但不能使液体溢出,图3或图4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P,设PC = x,BQ = y.分别就图3和图4求y与x的函数关系式,并写出相应的α的范围.

延伸 在图4的基础上,于容器底部正中间位置,嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计),得到图5,隔板高NM =" 1" dm,BM = CM,NM⊥BC.继续向右缓慢旋转,当α = 60°时,通过计算,判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.
(1)CQ∥BE, 3。
(2)
(3)37°。
拓展:y=-x+3.   37°≤α≤53°。
延伸:溢出液体可以达到4dm3

分析:探究:(1)根据水面与水平面平行可以得到CQ与BE平行,利用勾股定理即可求得BD的长:

(2)液体正好是一个以△BCQ是底面的直棱柱,据此即可求得液体的体积;。
(3)根据液体体积不变,据此即可列方程求解。
拓展:分容器向左旋转和容器向右旋转两种情况讨论。
延伸:当α=60°时,如图6所示,设FN∥EB,GB′∥EB,过点G作GH⊥BB′于点H,此时容器内液体形成两层液面,液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱,求得棱柱的体积,即可求得溢出的水的体积,据此即可作出判断。
探究:(1)CQ∥BE, 3。
(2)
(3)在Rt△BCQ中,,∴α=∠BCQ=37°。
拓展:当容器向左旋转时,如图3,0°≤α≤37°,
∵液体体积不变,∴
∴y=-x+3.
当容器向右旋转时,如图,同理可得:

当液面恰好到达容器口沿,即点Q与点B′重合时,如图,

由BB′=4,且,得PB=3,
∴由tan∠PB′B=,得∠PB′B=37°。∴α=∠B′PB=53°。
此时37°≤α≤53°。
延伸:当α=60°时,如图所示,设FN∥EB,GB′∥EB,过点G作GH⊥BB′于点H。

在Rt△B′GH中,GH=MB=2,∠GB′B=30°,
∴HB′=2
∴MG=BH=4-2<MN。
此时容器内液体形成两层液面,液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱。


∴溢出液体可以达到4dm3
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