Question

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点c（0，3）．
（1）求此抛物线所对应函数的表达式；
（2）若抛物线的顶点为D，在其对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PCD为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）抛物线与x轴交于点（-1，0）和（3，0），
设表达式为y=a（x+1）（x-3），
又点（0，3）在抛物线上，则3=a×1×（-3），
∴a=-l
故所求的表达式为：y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3．

（2）存在．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4知，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1，
①若以CD为底边，则PC=PD．设P点坐标为（a，b），
由勾股定理，得：a²+（3-b）²=（a-1）²+（4-b）^2，
即b=4-a．
又点P（a，b）在抛物线上，b=-a²+2a+3，
则 4-a=-a²+2a+3．整理，得a²-3a+1=0，
解，得（不合题意，舍去）
∴，
则，
P（，）；
②若以CD为一腰，因点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，
此时点P坐标为（2，3），
综上所述，符合条件的点P坐标为（）或（2，3）．
分析：（1）根据A、B的坐标设抛物线饿表达式是y=a（x+1）（x-3），把C的坐标代入求出a，即可得出答案；
（2）求出D的坐标和对称轴的表达式，分为两种情况：①若以CD为底边，则PC=PD．设P点坐标为（a，b），根据勾股定理求出b=4-a，代入抛物线求出a、b，②若以CD为一腰，根据抛物线对称性得出点P与点C关于直线x=1对称，即可求出P的坐标．
点评：本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点的运用，培养学生运用性质进行计算的能力，用的数学思想是分类讨论思想，题目综合性比较强，有一定的难度．