题目内容
【题目】数学课上林老师出示了问题：如图，AD∥BC，∠AEF=90°，AD=AB=BC=DC，∠B=90°，点E是边BC的中点，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．
同学们作了一步又一步的研究：
（1）经过思考，小明展示了一种解题思路：如图1，取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF，小明的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小颖提出一个新的想法：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（3）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：（1）正确．理由如下：
取AB的中点M，连接ME，
则AM=BM=
AB，
∵AD=AB=BC=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠DCG=90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=EC=BC，
∴AM=EC=BM=BE，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
在△AME和△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF
（2）正确．理由如下：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．
∵AB=BC，AM=EC，
∴BM=BE．
∴∠BME=45°．
∴∠AME=135°．
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°．
∴∠AME=∠ECF．
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
在△AME和△ECF中，
，
∴△AME≌△BCF．
∴AE=EF．
（3）正确．理由如下：在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE．
∵AB=BC，AN=CE，
∴BN=BE．
∴∠N=∠FCE=45°．．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE．
∴∠DAE=∠BEA．
∴∠NAE=∠CEF．
在△ANE和△ECF中，
，
∴△ANE≌△ECF（ASA）．
∴AE=EF．
