题目内容

【题目】大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学,被安排销售一款成本为40元/件的新型商品,此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表:

x(天)

1

2

3

50

p(件)

118

116

114

20

销售单价q(元/件)与x满足:当1≤x<25时q=x+60;当25≤x≤50时q=40+
(1)请分析表格中销售量p与x的关系,求出销售量p与x的函数关系.
(2)求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式.
(3)这50天中,该超市第几天获得利润最大?最大利润为多少?

【答案】
(1)解:设销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=kx+b,

代入(1,118),(2,116)得

解得

因此销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=﹣2x+120


(2)解:当1≤x<25时,

y=(60+x﹣40)(﹣2x+120)

=﹣2x2+80x+2400,

当25≤x≤50时,

y=(40+ ﹣40)(﹣2x+120)

= ﹣2250


(3)解:当1≤x<25时,

y=﹣2x2+80x+2400,

=﹣2(x﹣20)2+3200,

∵﹣2<0,

∴当x=20时,y有最大值y1,且y1=3200;

当25≤x≤50时,

y= ﹣2250;

∵135000>0,

随x的增大而减小,

当x=25时, 最大,

于是,x=25时,y= ﹣2250有最大值y2,且y2=5400﹣2250=3150.

∵y1>y2

∴这50天中第20天时该超市获得利润最大,最大利润为3200元


【解析】(1)由表格可以看出销售量p件与销售的天数x成一次函数,设出函数解析式,进一步代入求得答案即可;(2)利用利润=售价﹣成本,分别求出在1≤x<25和25≤x≤50时,求得y与x的函数关系式;(3)利用(2)中的函数解析式分别求得最大值,然后比较两者的大小得出答案即可.

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