Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：AB是⊙O切线．

理由：连接DE、CF．

∵CD是直径，

∴∠DEC=∠DFC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠DEC+∠ACE=180°，

∴DE∥AC，

∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，

∵∠DFC=90°，

∴∠FCD+∠CDF=90°，

∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，

∴∠ADF+∠CDF=90°，

∴∠ADC=90°，

∴CD⊥AD，

∴AB是⊙O切线

（2）解：∵∠CPF=∠CPA，∠PCF=∠PAC，

∴△PCF∽△PAC，

∴ ，

∴PC2=PFPA，设PF=a．则PC=2a，

∴4a2=a（a+5），

∴a= ，

∴PC=2a=

【解析】（1）结论：AB是⊙O切线，连接DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要证明∠ADF=∠DCF即可解决问题．（2）只要证明△PCF∽△PAC，得 ，设PF=a．则PC=2a，列出方程即可解决问题．