Question

【题目】（操作发现】

在计算器上输入一个正数，不断地按“”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．

【提出问题】

输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？

【分析问题】

我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．

也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x1，先在直线y=kx+b上确定点（x1，y1），再在直线y=x上确定纵坐标为y1的点（x2，y1），然后再x轴上确定对应的数x2，…，以此类推．

【解决问题】

研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．

（1）若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；

（2）若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；

（3）①若，b=2，已在x轴上表示出x1（如图2所示），请在x轴上表示x2，x3，x4，并写出研究结论；

②若输入实数x1时，运算结果xn互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）当x1＜4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越小；当x1=4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn的值保持不变，都等于4；当x1＞4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越大

；（2）当x1＞时，随着运算次数n的增加，xn越来越大；当x1＜时，随着运算次数n的增加，xn越来越小；当x1=时，随着运算次数n的增加，xn保持不变；（3）①随着运算次数的增加，运算结果越来越接近；②﹣1＜k＜1且k≠0，m=．

【解析】

试题分析：（1）若k=2，b=﹣4，y=2x﹣4，取x1=3，则x2=2，x3=0，x4=﹣4，…

取x1=4，则x2x3=x4=4，…

取x1=5，则x2=6，x3=8，x4=12，…由此发现：

当x1＜4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越小．

当x1=4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn的值保持不变，都等于4．

当x1＞4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越大．

（2）当x1＞时，随着运算次数n的增加，xn越来越大．

当x1＜时，随着运算次数n的增加，xn越来越小．

当x1=时，随着运算次数n的增加，xn保持不变．

理由：如图1中，直线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为（，），当x1＞时，对于同一个x的值，kx+b＞x，∴y1＞x1

∵y1=x2，∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜xn，∴当x1＞时，随着运算次数n的增加，xn越来越大．

同理，当x1＜时，随着运算次数n的增加，xn越来越小．

当x1=时，随着运算次数n的增加，xn保持不变．

（3）①在数轴上表示的x1，x2，x3如图2所示．

随着运算次数的增加，运算结果越来越接近．

②由（2）可知：﹣1＜k＜1且k≠0，由消去y得到x=，∴由①探究可知：m=．