Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．

（1）实践与操作：利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）；
①作AB的垂直平分线交AB于点D，连接CD；
②分别作∠ADC、∠BDC的平分线，交AC、BC于点E、F．
（2）求证：CE=DF．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，CD、DE、DF为所作；

（2）证明：∵D点AB的中点，

∴CD=AD=BD，

∵DE平分∠ADC，DF平分∠BDC，

∴DE⊥AC，DF⊥BC，

∴四边形CFDE为矩形，

∴CE=DF．

【解析】（1）①利用基本作图（作线段的垂直平分线）作AB的垂直平分得到AB的中点D，连结CD即可；②利用基本作图（作已知角的平分线）作DE平分∠ADC，DF平分∠BDC；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=BD，再利用等腰三角形的三线合一得到DE⊥AC，DF⊥BC，于是可判断四边形CFDE为矩形，从而得到结论．
【考点精析】利用角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．