Question

【题目】已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a+b+c=32 ①
②
是否存在以 ， ， 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．

Answer 1

【答案】解法1：将①②两式相乘，得 ，
即： ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
所以b﹣c+a=0或c+a﹣b=0或c﹣a+b=0，
即b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以 ， ， 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
解法2：结合①式，由②式可得 ，
变形，得 ③
又由①式得（a+b+c）2=1024，即a2+b2+c2=1024﹣2（ab+bc+ca），
代入③式，得 ，
即abc=16（ab+bc+ca）﹣4096．（a﹣16）（b﹣16）（c﹣16）=abc﹣16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0，
所以a=16或b=16或c=16．
结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以 ， ， 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
【解析】解法一：根据已知，将两式相乘，运用平方差公式、完全平方式、提取公因式将乘积分解为 ．再根据每个因式都可能等于零，及勾股定理，判断三角形为直角三角形．最大角度也就是90°
解法二：将①式变形代入，求出a、b、c的值，再利用勾股定理，判断三角形的为直角三角形．最大角度也就是90°．本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是运用因式分解、等式变形求出a、b、c三角形三边的关系
【考点精析】利用勾股定理的逆定理和因式分解的应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；因式分解是整式乘法的逆向变形，可以应用与数字计算、求值、整除性问题、判断三角形的形状、解方程．