题目内容

矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为（ $数学公式$ ，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处．
（1）求直线OB的解析式；
（2）求经过点E的反比例函数的解析式；
（3）若反比例函数 $数学公式$ （k＜0）的图象与线段OB有交点，求k的取值范围．

解：（1）∵点B的坐标为（ $\text{[math]}$ ，5），
∴设直线OB的解析式为：y=ax，
则5=- $\text{[math]}$ a，
解得：a=- $\text{[math]}$ ，
故直线OB的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x；

（2）过E点作EF⊥OC于F
由条件可知：OE=OA=5， $\text{[math]}$ =tan∠BOC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以EF=3，OF=4
则E点坐标为（-4，3）
设反比例函数的解析式是y= $\text{[math]}$
则有b=-4×3=-12，
∴反比例函数的解析式是y=- $\text{[math]}$ ．

（3）当反比例函数的图象过B（ $\text{[math]}$ ，5）时，
设反比例函数的解析式是y= $\text{[math]}$ ，
则有k=- $\text{[math]}$ ×5=- $\text{[math]}$ ，
则反比例函数的解析式是y=- $\text{[math]}$ ，
∵反比例函数 $\text{[math]}$ （k＜0）的图象与线段OB有交点，根据xy=k，
∴其他点的横纵坐标乘积一定大于- $\text{[math]}$ ，
故k的取值范围是：- $\text{[math]}$ ≤k＜0．
分析：（1）将B点代入直线OB的解析式y=ax，即可得出答案；
（2）只需求得点E的坐标．根据点B的坐标，可知矩形的长和宽；从而再根据锐角三角函数求得点E的坐标，运用待定系数法进行求解；
（3）将B点坐标代入反比例函数的解析式，求出k的值，即可得出k的取值范围．
点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数的性质综合应用，本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．