题目内容

【题目】问题提出:用水平线和竖直线将平面分成若干个面积为1的小长方形格子,小长方形的顶点叫格点,以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为S,它各边上格点的个数和为x,多边形内部的格点数为n,S与x,n之间是否存在一定的数量关系呢?
(1)问题探究:
如图1,图中所示的格点多边形,其内部都只有一个格点,它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表,请填写下表并写出S与x之间的关系式S=

多边形的序号

多边形的面积S

2

2.5

3

4

各边上格点的个数和x

4


(2)在图2中所示的格点多边形,这些多边形内部都有且只有2个格点.探究此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式S=
(3)请继续探索,当格点多边形内部有且只有n(n是正整数)个格点时,猜想S与x,n之间的关系式S=(用含有字母x,n的代数式表示)
(4)问题拓展:
请在正三角形网格中的类似问题进行探究:在图3、4中正三角形网格中每个小正三角形面积为1,小正三角形的顶点为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形,图是该正三角形格点中的两个多边形.
根据图中提供的信息填表:

格点多边形各边上的格点的个数

格点多边形内部的格点个数

格点多边形的面积

多边形1(图3)

8

1

8

多边形2(图4)

7

3

11

一般格点多边形

a

b

S

则S与a,b之间的关系为S=(用含a,b的代数式表示).

【答案】
(1)
x;5;6;8
(2)
x+1
(3)
x+(n﹣1)
(4)a+2b﹣2
【解析】解:问题探究:
(1.)∵①各边上格点个数和为:4,S=2= ×4,
②各边上格点个数和为:5,S=2.5= ×5,
③各边上格点个数和为:6,S=3= ×6,
④各边上格点个数和为:8,S=4= ×8,
∴S= x;
所以答案是: x;5,6,8;
(2.)由图可知多边形内部都有而且只有2格点时,
⑦的各边上格点的个数为6,面积为4= ×6+1,
⑥的各边上格点的个数为10,面积为6= ×10+1,
∴S= x+1;
所以答案是: x+1;
(3.)由图1可知多边形内部都有而且只有n格点时,面积为:S= x+(n﹣1).
(4.)问题拓展:
格点多边形各边上的格点的个数为8,格点多边形内部的格点个数1,则s=8+2×1﹣2=8
格点多边形各边上的格点的个数为7,格点多边形内部的格点个数3,则s=7+2×3﹣2=11
格点多边形各边上的格点的个数为a,格点多边形内部的格点个数b,则S=a+2b﹣2
所以答案是a+2b﹣2.
【考点精析】认真审题,首先需要了解数与式的规律(先从图形上寻找规律,然后验证规律,应用规律,即数形结合寻找规律).

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