题目内容
【题目】如图,经过原点且与两坐标轴分别交于点
和点
,点
的坐标为
,点
的坐标为
,解答下列各题:
(1)求圆心的坐标;
(2)在上是否存在一点
,使得
是等腰三角形?若存在,请求出
的度数;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在符合条件的
点:
,
,
,
【解析】
(1)如图(见解析),过作
轴于
,先确定AB是圆O的直径,再根据垂径定理可得
,根据中位线定理可知
,从而可得点C的坐标;
(2)如图(见解析),作的垂直平分线,交圆
于
,交
于
,连接
,根据垂直平分线的性质可知点
符合要求,再根据圆周角定理和直角三角形的性质求出
的度数;最后再分析当OB为所求等腰三角形的腰时点P的位置即可.
(1)如图,过作
轴于
∴是圆
的直径
则(垂径定理),
(中位线定理)
即;
(2)如图,作的垂直平分线,交圆
于
,交
于
,连接
则,
都是等腰三角形,即
、
均符合
点的要求
由垂径定理知:必过点
,即
是圆
的直径
∴,
在中,
,
∴
同理可得
是等边三角形
故当点P在OB的上方时,不需要考虑OB为腰的情况
又∵是直径
同理可得
故当点P在OB的下方时,OB不可能为腰
综上,存在符合条件的点:
;
.
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