题目内容

【题目】1)求证:无论p为何值,方程(x2)(x3)p2=0总有两个不相等的实数根.

2)若方程(x2)(x3)p2=0的两根为正整数,试求p的值.

【答案】1)见解析;(20或-

【解析】

1)要证明方程总有两个不相等的实数根,那么只要证明0即可;

2)将方程(x2)(x3)p2=0化简为x25x+6p2=0,其两根为正整数,求出两根,根据两根之积等于6p2求解即可.

(1)把方程(x2)(x3)p2=0化为一般形式得:

x25x+6p2=0

=(5)24×1×(6p2)=4p2+1

对于任意实数pp2≥0

∴△=4p2+1>0

∴无论p为何值,方程(x2)(x3)p2=0总有两个不相等的实数根.

2)解:方程(x2)(x3)p2=0化简得:x25x+6p2=0

设方程的两个实数根为ab.

则:a+b=5. 因为方程(x2)(x3)p2=0的两根为正整数,所以,方程的根有下列两种情形:

方程的两个实数根为14;此时ab=4

方程的两个实数根为23; 此时ab=6

∴当ab=4时,6p2=4,解得:p=±;

ab=6 时,6p2=6,解得:p=0;

综上,方程(x2)(x3)p2=0的两根为正整数,则p的值为0或-.

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