Question

【题目】如图，等腰中，，，于点，点是延长线一点，点是线段上一点，.

(1)已知，求的度数；

(2)求证：是等边三角形；

(3)求证：.

Answer 1

【答案】（1）12°；（2）证明见详解；（3）证明见详解.

【解析】

（1）连接OB,根据等腰三角形的性质可得OB=OC,再利用等边对等角可得∠APO=∠ABO,∠OBD=∠OCD,则∠APO+∠OCD=∠ABO+∠OBD=∠ABD,据此即可求解；

（2）证明∠POC =60°且OP=OC,即可证明是等边三角形；

（3）先证明∠APO=∠CPE,利用SAS即可证明,则AO=CE,即AC=AE+CE=AO+AP.

（1）如图所示，连接OB,

∵，，,

∴BD=CD,∠BAD=∠BAC=60°,

∴OB=OC,∠ABC=30°,

∵OP=OC,

∴OP=OC=OB,

∴∠APO=∠ABO,∠OBD=∠OCD,

∴∠APO+∠OCD=∠ABO+∠OBD=∠ABD,

∵∠ABD=30°,∠APO=18°,

∴∠DCO=∠ABD-∠APO=30°-18°=12°;

(2)∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°,

∴∠APC+∠DCP=150°,

∵∠APO+∠DCO=30°,

∴∠OPC+∠OCP=120°,

∴∠POC=180°-∠OPC-∠OCP=60°,

∵OP=OC,

∴是等边三角形；

（3）如图所示，在AC上截取AE=PA,连接PE,

∵∠PAE=180°-∠BAC=60°,

∴是等边三角形，

∴∠PEA=∠APE=60°,PE=PA,

∴∠APO+∠OPE=60°,

∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°,

∴∠APO=∠CPE,

又∵OP=CP,PA=PE,

∴(SAS),

∴AO=CE,

∴AC=AE+CE=AO+AP.