Question

【题目】（问题提出）：有同样大小正方形256个，拼成如图1所示的的一个大的正方形．请问如果用一条直线穿过这个大正方形的话，最多可以穿过多少个小正方形？

（问题探究）：我们先考虑以下简单的情况：一条直线穿越一个正方形的情况．（如图2）

从图中我们可以看出，当一条直线穿过一个小正方形时，这条直线最多与正方形上、下、左、右四条边中的两个边相交，所以当一条直线穿过一个小正方形时，这条直线会与其中某两条边产生两个交点，并且以两个交点为顶点的线段会全部落在小正方形内．

这就启发我们：为了求出直线最多穿过多少个小正方形，我们可以转而去考虑当直线穿越由小正方形拼成的大正方形时最多会产生多少个交点.然后由交点数去确定有多少根小线段，进而通过线段的根数确定下正方形的个数．

再让我们来考虑正方形的情况（如图3）：

为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线右上方至左下方穿过一个的正方形，我们从两个方向来分析直线穿过正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的两条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的四条线段；这样直线最多可穿过的大正方形中的六条线段，从而直线上会产生6个交点，这6个交点之间的5条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线最多能经过5个小正方形．

（问题解决）：

（1）有同样大小的小正方形16个，拼成如图4所示的的一个大的正方形．如果用一条直线穿过这个大正方形的话，最多可以穿过_________个小正方形．

（2）有同样大小的小正方形256个，拼成的一个大的正方形.如果用一条直线穿过这个大正方形的话，最多可以穿过___________个小正方形．

（3）如果用一条直线穿过的大正方形的话，最多可以穿过___________个小正方形．

（问题拓展）：

（4）如果用一条直线穿过的大长方形的话（如图5），最多可以穿过个___________小正方形．

（5）如果用一条直线穿过的大长方形的话（如图6），最多可以穿过___________个小正方形．

（6）如果用一条直线穿过的大长方形的话，最多可以穿过________个小正方形．

（类比探究）：

由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间，平面中的正方形中四条边可联想到正方体中的正方形的六个面，类比上面问题解决的方法解决如下问题：

（7）如图7有同样大小的小正方体8个，拼成如图所示的的一个大的正方体.如果用一条直线穿过这个大正方体的话，最多可以穿过___________个小正方体．

（8）如果用一条直线穿过的大正方体的话，最多可以穿过_________个小正方体．

Answer 1

【答案】（1）7；（2）31；（3）；（4）4；（5）6 ；（6）；（7）4；（8）

【解析】

（1）为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个4×4的正方形，我们从两个方向来分析直线l穿过4×4正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的3条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的5条线段；这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的8条线段，从而直线L上会产生8个交点，这8个交点之间的7条线段，这样就不难得到答案．

（2）应用规律2n-1得到答案．

（3）应用规律2n-1得到答案．

（4）应用规律2n-1得到答案．

（5）我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个2×3的正方形，我们从两个方向来分析直线l穿过2×3正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的1条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的4条线段；这样直线L最多可穿过2×3的大正方形中的5条线段，从而直线L上会产生5个交点，这5个交点之间的4条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线L最多能经过4个小正方形．

（6）不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个3×4的正方形，我们从两个方向来分析直线l穿过3×4正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的2条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的5条线段；这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的7条线段，从而直线L上会产生7个交点，这7个交点之间的6条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线L最多能经过6个小正方形．

（7）不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个m×n的正方形，我们从两个方向来分析直线l穿过m×n正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的（m-1）条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的（n+1）条线段；这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的（m+n）条线段，从而直线L上会产生（m+n）个交点，这m+n个交点之间的（m+n-1）条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线L最多能经过（m+n-1）个小正方形．

（8）用类似的方法得到规律：3n-2．即可解决．

（9）根据规律3n-2得到答案．

（1）再让我们来考虑4×4正方形的情况（如图4）：为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个4×4的正方形，我们从两个方向来分析直线l穿过4×4正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的3条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的5条线段；这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的8条线段，从而直线L上会产生8个交点，这8个交点之间的7条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线L最多能经过7个小正方形．

故答案为7

（2）我们发现直线穿越1×1正方形时最多经过1个正方形，直线穿越2×2正方形时最多经过3个正方形，直线穿越3×3正方形时最多经过5个正方形，

直线穿越4×4正方形时最多经过7个正方形，…直线穿越n×n正方形时最多经过2n-1个正方形．

∴直线穿越10×10正方形时最多经过19个正方形．

故答案为19．

（3）由（2）可知，有2×16-1=31个正方形，

故答案为31．

（4）由（2）可知有2n-1个正方形．

故答案为2n-1．

（5）为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个2×3的正方形，我们从两个方向来分析直线l穿过2×3正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的1条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的4条线段；这样直线L最多可穿过2×3的大正方形中的5条线段，从而直线L上会产生5个交点，这5个交点之间的4条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线L最多能经过4个小正方形，

故答案为4．

（6）为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个3×4的正方形，我们从两个方向来分析直线l穿过3×4正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的2条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的5条线段；这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的7条线段，从而直线L上会产生7个交点，这7个交点之间的6条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线L最多能经过6个小正方形．

故答案为6．

（7）为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个m×n的正方形，我们从两个方向来分析直线l穿过m×n正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的（m-1）条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的（n+1）条线段；这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的（m+n）条线段，从而直线L上会产生（m+n）个交点，这m+n个交点之间的（m+n-1）条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线L最多能经过（m+n-1）个小正方形，

故答案为（m+n-1）．

（8）用类似的方法可以得到：用一条直线穿过1×1×1正方体的话，最多可以穿过1个小正方体，用一条直线穿过，2×2×2正方体的话，最多可以穿过4个小正方体，用一条直线穿过，3×3×3正方体的话，最多可以穿过7个小正方体，用一条直线穿过4×4×4正方体的话，最多可以穿过10个小正方体，…用一条直线穿过，n×n×n正方体的话，最多可以穿过（3n-2）个小正方体．

故答案为4．

（9）由（8）可知有（3n-2）个正方形，

故答案为（3n-2）．