题目内容
【题目】已知∠AOB=120°,点P为射线OA上一动点(不与点O重合),点C为∠AOB内部一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,且点Q恰好落在射线OB上,不与点O重合.
(1)依据题意补全图1;
(2)用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系,并证明;
(3)连接OC,写出一个OC的值,使得对于任意点P,总有OP+OQ=4,并证明.
【答案】(1)详见解析;(2)∠CQO+∠CPO=180°,详见解析;(3)OC=4时,对于任意点P,总有OP+OQ=4,详见解析.
【解析】
(1)根据题意补全图形即可;
(2)根据四边形内角和为360°可得答案;
(3)连接OC,在射线OA上取点D,使得DP=OQ,连接CD,首先证明△COQ≌△CDP,然后△COD为等边三角形,进而可得答案.
(1)补图如图1:
(2)∠CQO+∠CPO=180°,
理由如下:∵四边形内角和360°,
且∠AOB=120°,∠PCQ=60°,
∴∠CQO+∠CPO=∠1+∠2=180°.
(3)OC=4时,对于任意点P,总有OP+OQ=4.
证明:连接OC,在射线OA上取点D,使得DP=OQ,连接CD.
∴OP+OQ=OP+DP=OD.
∵∠1+∠2=180°,
∵∠2+∠3=180°,
∴∠1=∠3.
∵CP=CQ,
在△CQO和△CPD中
,
∴△COQ≌△CDP(SAS).
∴∠4=∠6,OC=CD.
∵∠4+∠5=60°,
∴∠5+∠6=60°.
即∠OCD=60°.
∴△COD是等边三角形.
∴OC=OD=OP+OQ=4.

【题目】如图1,在弧MN和弦MN所组成的图形中,P是弦MN上一动点,过点P作弦MN的垂线,交弧MN于点Q,连接MQ.已知MN=6cm,设M、P两点间的距离为xcm,P、Q两点间的距离为y1cm,M、Q两点间的距离为y2cm.小轩根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小轩的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值:x/cm.
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y1/cm | 0 | 2.24 | 2.83 | 3.00 | 2.83 | 2.24 | 0 |
y2/cm | 0 | 2.45 | 3.46 | 4.24 | m | 5.48 | 6 |
上表中m的值为 .(保留两位小数)
(2)在同一平面直角坐标系xOy(图2)中,函数y1的图象如图,请你描出补全后的表中y2各组数值所对应的点(x,y2),并画出函数y2的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:当△MPQ有一个角是30°时,MP的长度约为 cm.(保留两位小数)
【题目】根据学习函数的经验,探究函数y=x2+ax﹣4|x+b|+4(b<0)的图象和性质:
(1)下表给出了部分x,y的取值;
x | L | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | L |
y | L | 3 | 0 | ﹣1 | 0 | 3 | 0 | ﹣1 | 0 | 3 | L |
由上表可知,a= ,b= ;
(2)用你喜欢的方式在坐标系中画出函数y=x2+ax﹣4|x+b|+4的图象;
(3)结合你所画的函数图象,写出该函数的一条性质;
(4)若方程x2+ax﹣4|x+b|+4=x+m至少有3个不同的实数解,请直接写出m的取值范围.