题目内容

【题目】已知∠AOB120°,点P为射线OA上一动点(不与点O重合),点C为∠AOB内部一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,且点Q恰好落在射线OB上,不与点O重合.

1)依据题意补全图1

2)用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系,并证明;

3)连接OC,写出一个OC的值,使得对于任意点P,总有OP+OQ4,并证明.

【答案】(1)详见解析;(2)∠CQO+CPO180°,详见解析;(3)OC4时,对于任意点P,总有OP+OQ4,详见解析.

【解析】

1)根据题意补全图形即可;
2)根据四边形内角和为360°可得答案;
3)连接OC,在射线OA上取点D,使得DP=OQ,连接CD,首先证明COQ≌△CDP,然后COD为等边三角形,进而可得答案.

1)补图如图1

2)∠CQO+CPO180°

理由如下:∵四边形内角和360°

且∠AOB120°,∠PCQ60°

∴∠CQO+CPO=∠1+2180°

3OC4时,对于任意点P,总有OP+OQ4

证明:连接OC,在射线OA上取点D,使得DPOQ,连接CD

OP+OQOP+DPOD

∵∠1+2180°

∵∠2+3180°

∴∠1=∠3

CPCQ

CQOCPD

∴△COQ≌△CDPSAS).

∴∠4=∠6OCCD

∵∠4+560°

∴∠5+660°

即∠OCD60°

∴△COD是等边三角形.

OCODOP+OQ4

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