Question

如图，已知反比例函数y1=

k1

x

（k₁＞0）与一次函数y₂=k₂x+1，（k₂≠0）相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C．若S_△OAC=1，tan∠AOC=2
（1）求反比例函数与一次函数的解析式
（2）求S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）由三角形OAC的面积为1，tan∠AOC=2，利用锐角三角函数定义设AC=2a，则有OC=a，利用面积公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k₁的值，确定出反比例解析式，将A坐标代入一次函数解析式中求出k₂的值，确定出一次函数解析式；
（2）连接BC，三角形ABC面积由三角形ACD面积与三角形BCD面积之和求出即可．

解答：解：（1）在Rt△AOC中，tan∠AOC=2，
设AC=2a，则OC=a，
∵S_△OAC=

1

2

•2a•a=1，即a²=1，
∴a=1，即A（1，2），
将A代入反比例解析式中得：k₁=2，即反比例解析式为y₁=

2

x

；
将A代入一次函数解析式中得：k₂=1，即一次函数解析式为y₂=x+1；

（2）对于一次函数y₂=x+1，令y=0求出x=-1，即OD=1，CD=1+1=2，
联立两函数解析式得：

y= 2 x y=x+1

，
解得：

x=1 y=2

或

x=-2 y=-1

，
∴A（1，2），B（-2，-1），
则S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC=

1

2

×2×2+

1

2

×2×1=3．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求反比例解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．