Question

已知二次函数的图象过（0，3），（3，0），且对称轴为直线x=1．
（1）求这个二次函数的图象的解析式；
（2）指出二次函数图象的顶点坐标；
（3）利用草图分析，当函数值y＞0时，x的取值范围是多少．

Answer 1

分析：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），根据题意得到

c=3 9a+3b+c=0 - b 2a =1

，然后解方程组即可确定解析式；
（2）由于对称轴为直线x=1，则把x=1代入解析式可计算出对应的纵坐标，这样可得到顶点坐标；
（3）先确定抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，然后观察图象可得到当-1＜x＜3时，函数图象在x轴上方，即y＞0．

解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），
根据题意得

c=3 9a+3b+c=0 - b 2a =1

，解得

a=-1 b=2 c=3

，
所以个二次函数的图象的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）把x=1代入y=-x²+2x+3得y=-1+2+3=4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（3）如图，令y=0，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
即抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
当-1＜x＜3时，y＞0．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，解方程组即可确定其解析式．也考查了二次函数的图象与性质．