Question

已知二次函数的图象过A（-3，0）、B（1，0）两点．
（1）当这个二次函数的图象又过点C（0，3）时，求其解析式．
（2）设（1）中所求二次函数图象的顶点为P，求S_△APC：S_△ABC的值．
（3）如果二次函数图象的顶点M在对称轴上移动，并与y轴交于点D，S_△AMD：S_△ABD的值确定吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）已知了抛物线上A、B、C三点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）先根据抛物线的解析式求出P点的坐标，由于△APC的面积无法直接求出，因此可用四边形AOCP的面积（梯形PCNO的面积+△APN的面积）-△AOC的面积来求得．△ABC中，已知了A、B、C三点的坐标，即可根据三角形面积公式求出其面积．据此可求出两三角形的面积比．
（3）可用交点式二次函数通式来设出抛物线的解析式，然后表示出其顶点M的坐标，按（2）的方法分别求出△AMD和△ABD的面积．进行比较即可（要注意二次函数二次项系数的符号要分正负两种情况进行讨论）．

解答：解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x-x₁）（x-x₂）
∵二次函数的图象过A（-3，0）、B（1，0）两点
∴y=a（x+3）（x-1）
∵二次函数的图象过点C（0，3）
∴3=a（0+3）（0-1）
∴a=-1
∴所求二次函数的解析式为：y=-x²-2x+3

（2）∵y=-x²-2x+3
∴P的坐标为（-1，4）
过点P作二次函数图象的对称轴交x轴于N
∵S_△APC=S_梯形PNOC+S_△APN-S_△AOC=

1

2

（OC+PN）•ON+

1

2

AN•PN-

1

2

OA•OC=

1

2

（3+4）×1+

1

2

×2×4-

1

2

×3×3=3
S△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6
∴S_△APC：S_△ABC=3：6=1：2；

（3）设此二次函数的解析式为：y=a（x+3）（x-1）=ax²+2ax-3a
∴D（0，-3a）
∵点M在对称轴x=-1上，且在函数图象上
∴M（-1，-4a）
当a=0时，即顶点在对称轴与x轴的交点处，函数图象不存在
∴S_△AMD：S_△ABD的值不存在．
当a≠0时，S_△AMD=S_梯形ODMN+S_△AMN-S_△AOD=

1

2

（OD+MN）•ON+

1

2

AN•MN-

1

2

OA•OD
=

1

2

（|-3a|+|-4a|）×1+

1

2

×2×|-4a|-

1

2

×3×|-3a|
=

3

2

|-4a|-|-3a|
S_△ABD=

1

2

AB•OD=

1

2

×4×|-3a|=2|-3a|
∴

S△AMD

S△ABD

=

3 2 |-4a|-|-3a|

2|-3a|

当a＜0时：

S△AMD

S△ABD

=

3 2 |-4a|-|-3a|

2|-3a|

=

-3a

-6a

=

1

2

当a＞0时：

S△AMD

S△ABD

=

3 2 |-4a|-|-3a|

2|-3a|

=

3a

6a

=

1

2

∴当a≠0时，S_△AMD：S_△ABD的值是确定的．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．要注意（3）中a的符号不确定时，要分类进行讨论．