题目内容

(1)求这个二次函数的关系式;
(2)若二次函数的图象与x轴交于点A、B(A在B的左侧),与y轴交于点C,线段AC的垂直平分线与x轴交于点D.求:①点D的坐标;②△DBC的外接圆半径R的值.
分析:(1)由二次函数的图象过点(4,3),它的顶点坐标是(2,-1),设顶点式,利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式;
(2)①首先由(1)中的解析式,求得点A,B,C的坐标,然后由线段AC的垂直平分线与x轴交于点D,设D(x,0),根据AD=CD列方程,解方程即可求得点D的坐标;
②由△DBC的外接圆的圆心是△DBC的三边垂直平分线的交点,首先求得此外接圆的圆心的横坐标,然后设其坐标为F(-
,y),由FC=FB,即可求得y的值,则可得△DBC的外接圆半径R的值.
(2)①首先由(1)中的解析式,求得点A,B,C的坐标,然后由线段AC的垂直平分线与x轴交于点D,设D(x,0),根据AD=CD列方程,解方程即可求得点D的坐标;
②由△DBC的外接圆的圆心是△DBC的三边垂直平分线的交点,首先求得此外接圆的圆心的横坐标,然后设其坐标为F(-
1 |
2 |
解答:解:(1)设这个二次函数的关系式为:y=a(x-2)2-1,
∵二次函数的图象过点(4,3),
∴3=4a-1,
解得:a=1,
∴这个二次函数的关系式为y=(x-2)2-1;
(2)①∵令x=0,可得y=3,
令y=0,可得:x=1或x=3,
∴点A(1,0),B(3,0),C(0,3),
∵线段AC的垂直平分线与x轴交于点D,
∴AD=CD,
设D(x,0),
则(1-x)2=x2+9,
解得:x=-4,
∴点D的坐标为(-4,0);
②∵△DBC的外接圆的圆心是△DBC的三边垂直平分线的交点,
∴点F的横坐标为
=-
,
设点F(-
,y),
∵FC=FB,
∴
+(y-3)2=(3+
)2+y2,
解得:y=-
,
∴点F(-
,-
).
∴R=
+(-
-3)2=
.
∴△DBC的外接圆半径R的值为
.
∵二次函数的图象过点(4,3),
∴3=4a-1,
解得:a=1,
∴这个二次函数的关系式为y=(x-2)2-1;
(2)①∵令x=0,可得y=3,

令y=0,可得:x=1或x=3,
∴点A(1,0),B(3,0),C(0,3),
∵线段AC的垂直平分线与x轴交于点D,
∴AD=CD,
设D(x,0),
则(1-x)2=x2+9,
解得:x=-4,
∴点D的坐标为(-4,0);
②∵△DBC的外接圆的圆心是△DBC的三边垂直平分线的交点,

∴点F的横坐标为
-4+3 |
2 |
1 |
2 |
设点F(-
1 |
2 |
∵FC=FB,
∴
1 |
4 |
1 |
2 |
解得:y=-
1 |
2 |
∴点F(-
1 |
2 |
1 |
2 |
∴R=
1 |
4 |
1 |
2 |
25 |
2 |
∴△DBC的外接圆半径R的值为
25 |
2 |
点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,垂直平分线的性质,以及三角形外接圆的知识.此题综合性很强,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.

练习册系列答案
相关题目