Question

已知二次函数的图象过点（4，3），它的顶点坐标是（2，-1）．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若二次函数的图象与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，线段AC的垂直平分线与x轴交于点D．求：①点D的坐标；②△DBC的外接圆半径R的值．

Answer 1

分析：（1）由二次函数的图象过点（4，3），它的顶点坐标是（2，-1），设顶点式，利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式；
（2）①首先由（1）中的解析式，求得点A，B，C的坐标，然后由线段AC的垂直平分线与x轴交于点D，设D（x，0），根据AD=CD列方程，解方程即可求得点D的坐标；
②由△DBC的外接圆的圆心是△DBC的三边垂直平分线的交点，首先求得此外接圆的圆心的横坐标，然后设其坐标为F（-

1

2

，y），由FC=FB，即可求得y的值，则可得△DBC的外接圆半径R的值．

解答：解：（1）设这个二次函数的关系式为：y=a（x-2）²-1，
∵二次函数的图象过点（4，3），
∴3=4a-1，
解得：a=1，
∴这个二次函数的关系式为y=（x-2）²-1；

（2）①∵令x=0，可得y=3，
令y=0，可得：x=1或x=3，
∴点A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∵线段AC的垂直平分线与x轴交于点D，
∴AD=CD，
设D（x，0），
则（1-x）²=x²+9，
解得：x=-4，
∴点D的坐标为（-4，0）；

②∵△DBC的外接圆的圆心是△DBC的三边垂直平分线的交点，
∴点F的横坐标为

-4+3

2

=-

1

2

，
设点F（-

1

2

，y），
∵FC=FB，
∴

1

4

+（y-3）²=（3+

1

2

）²+y²，
解得：y=-

1

2

，
∴点F（-

1

2

，-

1

2

）．
∴R=

1

4

+（-

1

2

-3）²=

25

2

．
∴△DBC的外接圆半径R的值为

25

2

．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，垂直平分线的性质，以及三角形外接圆的知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．