Question

已知二次函数的图象过点（3，-8），对称轴为直线x=-2，函数与x轴的两个交点的距离为6，求：
（1）图象与x轴的两个交点A、B（A在B的左边）的坐标；
（2）函数图象与y轴交点C的坐标及顶点P的坐标；
（3）求四边形PABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据两交点间的距离求出交点到对称轴的距离，即可得到点A、B的坐标；
（2）设出交点式解析式y=a（x+5）（x-1），然后把点（3，-8）代入解析式求出a值，即可得到函数解析式，把二次函数解析式整理成一般形式，再根据与y轴的交点的横坐标为0，顶点坐标的横坐标为x=-2进行计算即可得解；
（3）根据四边形的面积等于两个直角三角形的面积与一个梯形的面积的和，然后利用三角形的面积与梯形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解（1）∵因为抛物线对称轴为直线x=-2，且图象与x轴的两个交点的距离为6，
∴点A、B到直线x=-2的距离为3，
∴A为（-5，0），B为（1，0）；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x+5）（x-1），
把（3，-8）代入得：a（3+5）（3-1）=-8，
解得a=-

1

2

，
所以，抛物线的解析式为y=-

1

2

（x+5）（x-1）=-

1

2

x²-2x+

5

2

，
当x=-2时，y=

9

2

，
所以，函数图象与y轴交点C为（0，

5

2

），顶点P为（-2，

9

2

）；

（3）由图得：S_{四边形PABC}=

1

2

×3×

9

2

+

1

2

×1×

5

2

+

1

2

×（

5

2

+

9

2

）×2
=

27

4

+

5

4

+7
=8+7
=15．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，根据二次函数图象的轴对称求出点A、B的坐标是解题的关键，（2）利用交点式二次函数解析式更加简便，要求对二次函数常见的几种形式要熟练掌握并灵活运用．