Question

如图：已知在正方形ABCD中，E是边AB的中点，点F在BC上，且∠ADE＝∠FDE。

(1)求证：DF＝AB＋FB；
(2)以E为圆心EB为半径作⊙E，试判断⊙E与直线DF的位置关系，并说明理由；
(3)在⑵的条件下，若CD=4cm，点M在线段DF上从点D出发向点F运动，速度为0.5cm/s，以M为圆心，MD为半径作⊙M。当运动时间为多少秒时，⊙M与⊙E相切？

Answer 1

(1)证明见解析；（2）相切，理由见解析；（3）.

试题分析：(1)过E点作EP⊥DF，垂足为P，连接EF，易证△DAE≌△DPE，△EPF≌△EBF,即有：AD=AP，BF=PF，而AB=AD，从而得证；
（2）由EB=EP知⊙E与直线DF相切；
（3）设t秒后两圆相切，利用勾股定理得出方程，解方程即可求解.
试题解析：（1）过E点作EP⊥DF，垂足为P，连接EF，

在△DAE和△DPE中
∵∠ADE＝∠FDE
DE=DE
∠DAE＝∠DPE
∴△DAE≌△DPE，
∴DP=DA,AE=EP
又DA=AB
∴DP=AB
∵E为AB的中点
∴BE=AE=EP
在Rt△EPF和Rt△EBF中
BE=PE
EF=EF
∴Rt△EPF≌Rt△EBF
∴BF=PF
∴DF=DP+PF=AB+BF
(2)由（1）知：EP=EB
故⊙E与直线DF相切.
(3)设t秒后⊙M与⊙E相切，则有：
（4-0.5t）²+2²=（2+0.5t）²
解得：t=.
考点: 1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.圆和圆的位置关系.