Question

如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx²+2mx+n上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据题意把A （-2，4）和点B （1，0）代入抛物线y=mx²+2mx+n中，解出m、n的值即可．
（2）本题需先根据四边形AA′B′B为菱形得出y的解析式，再把解析式向右平移5个单位即可得到平移后抛物线的表达式．
（3）本题需根据平移与菱形的性质，得到A′、B′的坐标，再过点A′作A′H⊥x轴，得出BH和A′H的值，再设菱形AA′B′B的中心点M，作MG⊥x轴，根据中位线性质得到MG、BG的值，最后求出点M的坐标．

解答：解：（1）根据题意，把A （-2，4）和点B （1，0）代入抛物线y=mx²+2mx+n中，
解得

m=- 4 3 n=4

；

（2）四边形AA′B′B为菱形，
则AA′=B′B=AB=5；
∵y=-

4

3

x2-

8

3

x+4，
=-

4

3

(x+1)2+

16

3

；
∴向右平移5个单位的抛物线解析式为，
y=-

4

3

(x-4)2+

16

3

；

（3）根据平移与菱形的性质，得到
A′（3，4），B′（6，0）；
过点A′作A′H⊥x轴，
在Rt△A′BH中，点H（3，0），点B（1，0），
故BH=2，A′H=4；
设菱形AA′B′B的中心点M，作MG⊥x轴，
根据中位线性质得
MG=

1

2

A′H=2，
BG=

1

2

BH=1；
因此菱形AA′B′B的中心点M坐标为（2，2）．

点评：本题主要考查了二次函数的应用问题，在解题时要根据二次函数的图象和性质进行综合分析是本题的关键．