Question

从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分.
小题1:甲题：若关于x的一元二次方程有实数根α、β.求实数k的取值范围；设，求t的最小值.
小题2:乙题：如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直
线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

Answer 1

小题1:k≤-2 t的最小值为-4
小题2:当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形

本题考查一元二次方程根情况。当△≥0时有实数根。
（2）考查为四边形的判定和性质。先证明平行四边形再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形证明。
甲题：解：（1）∵一元二次方程有实数根α、β
∴ △≥0， （2分） 即≥0，
解得k≤-2 （5分）
（2）由根与系数的关系得：α+β="-[-2(2-k)]=4-2k" （6分）
     （7分）
∵k≤-2, ∴-4≤t＜0         （9分）
答：t的最小值为-4              （10分）
乙题：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，证明略.