题目内容
【题目】如图,AB 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上一点,AD 与过点C的切线垂直,垂足为 D,直线 DC 与AB 的延长线相交于点P,弦CE 平分∠ACB,交AB 于点F,连接BE.
求证:(1)AC 平分∠DAB;
(2)△PCF 是等腰三角形.
【答案】详见解析.
【解析】试题分析:
(1)由已知条件证AD∥OC可得∠DAC=∠ACO;由OA=OC可得∠ACO=∠CAO;两者结合可得∠DAC=∠CAO,从而可得AC平分∠DAB;
(2)由AD⊥DC,AB 是⊙O 的直径,可得∠ADC=∠ACB=90°,从而可得∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠PCB=90°,这样可得∠DAC=∠PCB=∠CAO;由CE平分∠ACB可得∠ACF=∠BCF,这样可得∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF,结合三角形外角性质可证得:∠PCF=∠PFC,从而可得PC=PF,就可得△PCF是等腰三角形.
试题解析:
(1)∵ PD 切⊙O 于点C,
∴OC⊥PD,
又AD⊥PD,
∴OC∥AD,
∴∠ACO=∠DAC,
又OC=OA,
∴∠ACO=∠CAO,
∴∠DAC=∠CAO,
即AC 平分∠DAB.
(2)∵AD⊥PD,
∴∠DAC+∠ACD=90°,
又AB 为⊙O 的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠PCB+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠PCB,
又∠DAC=∠CAO,
∴∠CAO=∠PCB,
∵CE 平分∠ACB,
∴∠ACF=∠BCF,
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF,
∴∠PFC=∠PCF,
∴△PCF 是等腰三角形.
【题目】为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备;现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表:
A型 | B型 | |
价格(万元/台) | 12 | 10 |
处理污水量(吨/月) | 240 | 200 |
年消耗费(万元/台) | 1 | 1 |
经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元。
(1) 请你设计该企业有几种购买方案;
(2)若该企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案?