Question

【题目】如图，某二次函数的图象是一条顶点为P(4．-4)的抛物线，它经过原点和点A，它的对称轴交线段

OA于点M．点N在对移轴上，且点M、N关于点P对称，连接AN，ON

（1）求此二次函数的解析式：

（2）若点A的坐标是(6，-3)．，请直接写出MN的长

（3）若点A在抛物线的对称轴右侧运动时，则∠ANM与∠ONM有什么数量关系？并证明．

Answer 1

【答案】（1）y=（x-4）2-4；（2）4；（3）∠ANM=∠ONM，理由见解析

【解析】

（1）根据二次函数图象的顶点设出二次函数的关系式，再很据二次函数图象经过原点，求出a的值，即可得出二次函数的关系式；

（2）设直线OA的解析式为y=kx，将A点代入，求出直线OA的解析式，再把x=4代入y=-x，求出M的坐标，根据点M、N关于点P对称，求出N的坐标，从而得出MN的长；

（3）过A作AH垂直于直线l，直线l与x轴交于点D，由A在二次函数图象上，设A横坐标为m，将x=m代入二次函数解析式，表示出纵坐标，确定出A的坐标，再由O的坐标，表示出直线AO的解析式，进而表示出M，N及H的坐标，得出OD，ND，HA，及NH，在直角三角形OND中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ONM，在直角三角形ANH中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ANM，化简后得到tan∠ONM=tan∠ANM，可得出∠ONM=∠ANM，得证．

解：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，-4），

∴设二次函数的关系式为y=a（x-4）2-4，

又∵二次函数图象经过原点（0，0），

∴0=a（0-4）2-4，

解得a=，

∴二次函数的关系式为y=（x-4）2-4；

（2）设直线OA的解析式为y=kx，将A（6，-3）代入得-3=6k，解得k=-，

∴直线OA的解析式为y=-x，

把x=4代入y=-x得y=-2，

∴M的坐标是（4，-2），

又∵点M、N关于点P对称，

∴N的坐标是（4，-6），

∴MN=4，

（3）过A作AH⊥l于H，l与x轴交于点D，如图所示：

设A（m，m2-2m），又O（0，0），

∴直线AO的解析式为y=

则M（4，m-8），N（4，-m），H（4，m2-2m），

∴OD=4，ND=m，HA=m-4，NH=ND-HD=m2-m，

在Rt△OND中，tan∠ONM=，

在Rt△ANH中，tan∠ANM=

∴tan∠ONM=tan∠ANM，

则∠ANM=∠ONM．