题目内容

【题目】定义:我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

1)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB=ADCB=CD,那么四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由.

2)性质探究:

①如图1,垂美四边形ABCD两组对边ABCDBCAD之间有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给出证明.

②如图3,在RtABC中,点F为斜边BC的中点,分别以ABAC为底边,在外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,连接FDFE,分别交ABAC于点MN.试猜想四边形FMAN的形状,并说明理由;

3)问题解决:

如图4,分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CEBGGE,已知AC=2AB=5.求GE的长度.

【答案】1)四边形ABCD是垂美四边形,证明见解析 2)①,证明见解析;②四边形FMAN是矩形,证明见解析 3

【解析】

1)根据垂直平分线的判定定理证明即可;

2)①根据垂直的定义和勾股定理解答即可;②根据在RtABC中,点F为斜边BC的中点,可得,再根据△ABD△ACE是等腰三角形,可得,再由(1)可得,,从而判定四边形FMAN是矩形;

3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算即可.

1)四边形ABCD是垂美四边形

连接ACBD

∴点A在线段BD的垂直平分线上

∴点C在线段BD的垂直平分线上

∴直线AC是线段BD的垂直平分线

∴四边形ABCD是垂美四边形;

2,理由如下

如图,已知四边形ABCD中,,垂足为E

由勾股定理得

②四边形FMAN是矩形,理由如下

如图,连接AF

∵在RtABC中,点F为斜边BC的中点

△ABD△ACE是等腰三角形

由(1)可得,

∴四边形FMAN是矩形;

3)连接CGBE

,即

△AGB△ACE

,即

四边形CGEB是垂美四边形

由(2)得

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