Question

如图，抛物线交坐标轴于A、B、D三点，过点D作轴的平行线交抛物线于点C．直线l过点E（0，－），且平分梯形ABCD面积．
⑴ 直接写出A、B、D三点的坐标；
⑵ 直接写出直线l的解析式；
⑶ 若点P在直线l上，且在x轴上方，tan∠OPB＝，求点P的坐标．

Answer 1

⑴点A（－2，0），点B（8，0），点D（0，）；⑵ 直线l：；⑶（7，7）．

解析试题分析：⑴令，解之即可求得A，B的坐标；在中，令，解之即可求得D的坐标.
⑵作CF⊥x轴，F为垂足．先求出矩形OFCD的中心坐标M（3，），则直线ME即为所求直线l．[
⑶若点P为所求的点，画出△POB的外接圆⊙G，并作GH⊥x轴，H为垂足，则∠OGH＝∠HGB＝∠OPB；
作PN⊥x轴，GN∥x轴，交于点N，则GN＝3，PN＝4，因此点P的坐标为（7，7）．
⑴ 点A（－2，0），点B（8，0），点D（0，）.
⑵ 直线l：.
⑶ 如图，若点P为所求的点，画出△POB的外接圆⊙G，并作GH⊥x轴，H为垂足，则∠OGH＝∠HGB＝∠OPB．
∵OH＝HB＝4，tan∠OGH＝tan∠HGB＝tan∠OPB＝，
∴GH＝3，GO＝GB＝GP＝5，即⊙G的圆心G坐标为（4，3），半径r＝5.
将点G坐标代入直线l解析式发现，点G恰巧在直线l上.
设直线l与x轴交于点Q，不难计算GH：QH＝4：3.
作PN⊥x轴，GN∥x轴，交于点N，则GN＝3，PN＝4，
因此点P的坐标为（7，7）．

考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.锐角三角函数定义.