题目内容
【题目】已知：在
中，
，
，
，动点
从点
出发，以每秒
个单位的速度沿
方向向终点
运动；同时，动点
也从点出发，以每秒
个单位的速度沿
方向向终点
运动．设两点运动的时间为
秒
．
连接
，在点、运动过程中，
与是否始终相似？请说明理由；
连接
，设
的面积为
，求关于的函数关系式；
连接、
，是否存在的值，使
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
探索：把
沿直线折叠成
，设
与交于点
，当
是直角三角形时，请直接写出的值．
【答案】
相似，理由见解析；
∴
；
存在，
的值为
；
，
．
【解析】
（1）已知AC、BC的长，根据勾股定理即可求得AB的长，根据
，进而即可求得△APQ∽△ABC.
（2）根据△APQ∽△ABC即可求得
，即可求得S关于t的方程式.
（3）先求证△PCQ∽△QBC进而可以得
，即
，求得t的值即可解题.
（4）分别用t表示PE、EQ、BQ的值，根据勾股定理即可求得t的值，即可解题.
(1)相似
∵∠ACB=〖90〗^
∴AB=√(AC^2+BC^2 )=5
∵PA=5/4 t，AQ=t
∴PA/AB=AQ/BC=t/4
∵∠A=∠A
∴△APQ∽△ABC
(2)∵△APQ∽△ABC
∴∠PQA=∠C=〖90〗^
∵PQ/BC=AQ/AC
∴PQ/3=t/4
∴PQ=3/4 t
∵CQ=4-t
∴S=1/23/4 t(4-t)=-3/8 t^2+3/2 t
(3)存在
∵PC⊥BQ
∴∠PCQ+∠BQC=〖90〗^
∵∠CBQ+∠BQC=〖90〗^
∴∠PCQ=∠CBQ
∵∠PQC=∠BCQ=〖90〗^
∴△PCQ∽△QBC
∴PQ/CQ=CQ/BC
∴(3/4 t)/(4-t)=(4-t)/3
∴t_1=(41+3√73)/8（舍去）t_2=(41-3√73)/8
∴存在t的值为(41-3√73)/8，使PC⊥BQ．
(4)t_1=1，t_2=7/4．
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