Question

【题目】已知抛物线（m＞0）与x轴交于A、B两点．

（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；

（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；

（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）y=x2+2x﹣3（3）

【解析】试题分析：（1）证明抛物线的对称轴<0即可证明抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）根据题中已知条件求出m的值，进而求得抛物线的解析式；
（3）先设出C点坐标，根据的x1与x2关系求出m值，进而可求得△ABC的面积．

解：（1）证明：∵m＞0，

∴x=﹣=﹣＜0，

∴抛物线的对称轴在y轴的左侧；

（2）设抛物线与x轴交点为A（x1，0），B（x2，0），

则x1+x2=﹣m＜0，x1x2=﹣m2＜0，

∴x1与x2异号，

又∵＞0，

∴OA＞OB，

由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧，

∴x1＜0，x2＞0，

∴OA=|x1|=﹣x1 ，

OB=x2，

代入得： ，

，

从而，

解得m=2，

经检验m=2是原方程的根，

∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；

（3）解：当x=0时，y=﹣m2

∴点C（0，﹣ m2），

∵△ABC是直角三角形，

∴AB2=AC2+BC2，

∴（x1﹣x2）2=x12+（﹣m2）2+x22+（﹣m2）2

∴﹣2x1x2=m4

∴﹣2（﹣mspan>2）=m4，

解得m=，

∴S△ABC=×ABOC=|x1﹣x2|｜﹣m2｜=×2m×m2=．