Question

(10分)如图1，O为正方形ABCD的中心，

分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，
OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针
旋转角得到△E₁OF₁(如图2)．
(1)探究AE₁与BF₁的数量关系，并给予证明；
(2)当＝30°时，求证：△AOE₁为直角三角形．

Answer 1

解：(1)AE₁＝BF₁，证明如下：

∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD，∴OE＝OF 
∵△E₁OF₁是△EOF绕点O逆时针旋转角得到，∴OE₁＝OF₁。
              ∵∠AOB＝∠EOF＝90⁰，∴∠E₁OA＝90⁰－∠F₁OA＝∠F₁OB
                                       OE₁＝OF₁
在△E₁OA和△F₁OB中， ∠E₁OA＝∠F₁OB，∴△E₁OA≌△F₁OB （SAS）
                                       OA＝OB                      
∴AE₁＝BF₁。
(2)取OE₁中点G，连接AG。
∵∠AOD＝90⁰，＝30° ，∴∠E₁OA＝90⁰－＝60°。
∵OE₁＝2OA，∴OA＝OG，∴∠E₁OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°。
∴ AG＝GE₁，∴∠GAE₁＝∠GE₁A＝30°。∴∠E₁AO＝90°。
∴△AOE₁为直角三角形。

略