Question

如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.

（1）请你帮小萍求出x的值.
(2)  参考小萍的思路，探究并解答新问题：
如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）

Answer 1

解： （1）设AD=x，由题意得，BG=x－2，CG=x-3.
在Rt△BCG中，由勾股定理可得 .
解得 .          --------------2分
（2）参考小萍的做法得到四边形AEGF，∠EAF=60°，
∠EGF=120°，∠AEG=∠AFG= 90°，AE=AF=AD=4.
连结EF，可得 △AEF为等边三角形.
∴ EF=4.
∴ ∠FEG=∠EFG= 30°.
∴ EG="FG."
在△EFG中，可求，.
∴△EFG的周长＝BG+CG+BC=BG+CG+EB+FC=2EG=. --------------5分

略